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teoria dei giochi il dilemma del prigioniero (23012020)

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teoria dei giochi il dilemma del prigioniero (23012020)

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Il dilemma del prigioniero è un gioco ad informazione completa proposto negli anni cinquanta del XX secolo da Albert Tucker come problema di teoria dei giochi. Oltre ad essere stato approfonditamente studiato in questo contesto, il “dilemma” è anche piuttosto noto al pubblico non tecnico come esempio di paradosso.

Il dilemma può essere descritto come segue. Due criminali vengono accusati di aver commesso un reato. Gli investigatori li arrestano entrambi e li chiudono in due celle diverse, impedendo loro di comunicare. Ad ognuno di loro vengono date due scelte: collaborare, oppure non collaborare. Viene inoltre spiegato loro che:

se solo uno dei due collabora accusando l’altro, chi ha collaborato evita la pena; l’altro viene però condannato a 7 anni di carcere.
se entrambi accusano l’altro, vengono entrambi condannati a 6 anni.
se nessuno dei due collabora, entrambi vengono condannati a 1 anno, perché comunque già colpevoli di porto abusivo di armi.
Questo gioco può essere descritto con la seguente bimatrice:

# collabora non collabora
collabora (6,6) (0,7)
non collabora (7,0) (1,1)

La miglior strategia di questo gioco non cooperativo è (collabora, collabora) perché non sappiamo cosa sceglierà di fare l’altro. Per ognuno dei due lo scopo è infatti di minimizzare la propria condanna; e ogni prigioniero:

collaborando: rischia 0 o 6 anni
non collaborando: rischia 1 o 7 anni
La strategia non collabora è strettamente dominata dalla strategia collabora. Eliminando le strategie strettamente dominate si arriva all’equilibrio di Nash, dove i due prigionieri collaborano e hanno 6 anni di carcere. Il risultato migliore per i due (“ottimo paretiano”) è naturalmente di non collaborare (1 anno di carcere invece di 6), ma questo non è un equilibrio.

Supponiamo che i due si siano promessi di non collaborare in caso di arresto. Sono ora rinchiusi in due celle diverse e si domandano se la promessa sarà mantenuta dall’altro; se un prigioniero non rispetta la promessa e l’altro sì, il primo è allora liberato. C’è dunque un dilemma: collaborare o non collaborare. La teoria dei giochi ci dice che c’è un solo equilibrio (collabora, collabora).

Se pensiamo agli Stati Uniti e all’URSS come ai due prigionieri, e alla confessione come l’armamento con l’atomica (per contro la negazione equivarrebbe al disarmo unilaterale), il dilemma descrive come per le due nazioni fosse inevitabile al tempo della guerra fredda la corsa agli armamenti, benché questo risultato finale fosse non ottimale per nessuna delle due superpotenze (e per l’intero mondo).[2]

Il paradosso
Il dilemma del prigioniero ha causato interesse come esempio di gioco in cui l’assioma di razionalità apparentemente fallisce, prescrivendo un’azione che procura più danno ad entrambi i contendenti della scelta alternativa (non collabora, non collabora). Gli studiosi di teoria dei giochi fanno notare che chi la pensa in questo modo probabilmente si immagina un gioco diverso, in cui la vittoria viene valutata sulla somma degli anni di carcere.

Ovvero il gioco:

# collabora non collabora
collabora (12) (7)
non collabora (7) (2)

È facile vedere che questo nuovo gioco, semplificando le strategie dominanti, ha come equilibrio il (non collabora, non collabora), ovvero la scelta che conduce al miglior risultato possibile per entrambi.

Questa seconda formulazione (sommando gli anni di carcere) prevede che il prigioniero debba preferire il danno minore per la coppia ma non è questo il suo obiettivo nella formulazione originaria. In quella si suppone sia interessato solo ai rischi che corre personalmente.

Possibili soluzioni
A questo punto ci si potrebbe domandare:

«È possibile che non esista alcuna conclusione logica che permetta al prigioniero di sperare di rimanere in prigione un solo anno o addirittura nessuno?»
«È possibile che la logica non giunga a nessun’altra soluzione oltre all’accettazione di venire condannati a 6 anni senza alcuna speranza?»
Una possibile soluzione è la seguente, ma richiede due precisazioni e non è universalmente accettata:

a) si deve dare per scontato che tutti i personaggi abbiano una capacità logica pressoché perfetta. Questo non vuol dire che debbano essere buoni, altruisti o altro, ma solo che tutti capiscano il gioco allo stesso modo, e non facciano alcun errore;
b) dato il punto a) è facile capire che tutti prenderanno la stessa decisione. Non può esistere uno che fa il furbo a scapito degli altri, perché questo automaticamente vorrebbe dire che anche gli altri faranno come lui. Solo il lettore “disattento” può pensare di far fare il furbo ad un solo personaggio.
A questo punto appare chiaro che, se uno dei prigionieri capisce che le conclusioni a cui arriva lui sono le stesse a cui arriva l’altro, scegliere non collabora è l’unica azione possibile.

Infatti se ci si convince che è impossibile che diano risposte diverse (vedi il punto b), allora il discorso egoista cade. Rimanendo solamente le possibilità (collabora, collabora) e (non collabora, non collabora) la scelta è a prova di dubbio.

Un’altra soluzione è quella proposta dalla teoria dei giochi ad informazione incompleta.

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